Sonsuz Sayı Kaçtır?

Sizden gelen soru:

Sonsuz sayı kaçtır?

Cevap:

Sonsuz sayı nedir, sonsuz sayı var mı, sonsuz sayı kaçtır gibi sorular sorulunca insanın aklına “adı üstünde sonsuz sayı işte” gibi bir cevap gelebilir.Yada sonsuz sayı bilinmediği için sonsuz denişmiştir gibi bir cevap da gelebilir.Fakat durum bilindiği gibi değildir.

Şimdi gelin sonsuz sayıların tarihine, toplamları ve daha fazlasına göz atalım;

Sonsuz Sayılar ve Tarihi

Sonsuz kavramı (sembolü:∞), matematiksel işlemlerde sürekli artan veya sürekli azalan anlamlarında kullanılan bir sıfattır.

İlk olarak şunu ifade etmek gerekir ki, fiziksel dünyada sonsuz olarak nitelendirilebilecek bir şey yoktur. Eğer bir matematik işleminde sonsuz sonucuna ulaşılıyorsa, gerçek dünyada olmayan bir varsayım yapılmıştır. Bu gibi durumların aşılması için matematikçiler limit kavramını bulmuşlardır. Sonsuz kavramı, matematikte farklı anlamlarda kullanılabilmektedir. Fakat, aritmetikte sonsuzu diğer sayıların arasına uygun bir şekilde yerleştirmek mümkün değildir. Dört işlem kuralları tüm sayılar için geçerli iken, sonsuz da işin içine girdiği zaman bu kurallar sağlanmamaktadır. Yan yatmış 8 rakamına benzeyen sonsuz sembolü, ilk kez 1655’de John Wallis tarafından kullanılmış ve bu sembol genel kabul görmüştür.

Tarihi

Matematikte sonsuz kavramı 19. yüzyıl sonuna kadar tam olarak bilinmiyordu; bu kavramla ilgili büyük bir karışıklık söz konusuydu. Bu karışıklık, Georg Cantor tarafından ortaya koyulan kümeler kavramının gelişmesiyle birlikte matematikte ‘”sonsuz”un ne anlama gelmesi gerektiği anlaşıldı. Buna göre, bütün sayma sayılarının oluşturduğu küme ile çift sayılar kümesi eşit büyüklüktedir örneğinden yola çıkarak sonsuzluğun tanımı şu şekilde yapılmaktadır: Alt kümelerinden birine eşit olan bir küme sonsuzdur.

Sonsuz Sayı Toplamları

Sonsuz sayı toplandığında sonuç her zaman sonsuz bir sayı olmayabilir. Örneğin aşağıdaki örnekte, sonsuz toplam sonlu bir sayıdır. Bu işlem sonucunda π²/6 sayısına ulaşılmaktadır.

1/12 = 1
1/12 + 1/22 = 1.25
1/12 + 1/22 + 1/32 = 1.361111…
1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 = 1.423611…
1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 = 1.463611…
1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 + 1/62 = 1.491389…
1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 + 1/62 + 1/72 = 1.511797…
1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 + 1/62 + 1/72 + 1/82 = 1.527422…
1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 + 1/62 + 1/72 + 1/82 + 1/92 = 1.539768…

Bu işlemlerin devamında aşağıdaki gibi sonuçlar elde edilecektir:

1/12 + 1/22 + 1/32 +…+ 1/1002 = 1,634984…
1/12 + 1/22 + 1/32 +…+ 1/2002 = 1,639947…
1/12 + 1/22 + 1/32 +…+ 1/3002 = 1,641606…
1/12 + 1/22 + 1/32 +…+ 1/10002 = 1,643935…
1/12 + 1/22 + 1/32 +…+ 1/20002 = 1,644432…
1/12 + 1/22 + 1/32 +…+ 1/30002 = 1,644595…
1/12 + 1/22 + 1/32 +…+ 1/40002 = 1,644714…
1/12 + 1/22 + 1/32 +…+ 1/50002 = 1,644725…

Buna göre, yukarıda da görüldüğü gibi işlemlerin sonucu sürekli artmaktadır ve 1.70 sayısında hiç ulaşılamayacak gibi bir izlenim oluşmaktadır. Bu işlemler sonsuza kadar sürdüğü zama işlem sonucu 1.70 olacaktır. Bu sonuca ulaşıldığını ispatlayan ünlü matematikçi Leonhard Euler’dir.

Sonsuz Büyük ve Sonsuz Küçük Sayılar

Bir x değişkeni mutlak değer bakımından istenildiği kadar büyük seçilen pozitif bir N sayısından daha büyük kalıyorsa, yani:
 ise x, sonsuza yaklaşıyor denilmektedir. Sonsuza yaklaşan bir değişken sonsuz büyük olarak isimlendirilir ve x→∞ şeklinde gösterilir.

Eğer bir x değişkeni,  olarak  eşitsizliğini sağlıyorsa (+∞)’a yaklaşıyor şeklinde ifade edilir. Eğer bir x değişkeni  olarak  eşitsizliğini sağlıyorsa (-∞)’a yaklaşıyorşeklinde ifade edilir.

Eğer bir x değişkeni 0 limitine yaklaşıyorsa sonsuz küçük olarak nitelendirilir.